Mathématiques tout-en-un BCPST 2e année : Cours et exercices by Christian Gautier

By Christian Gautier

Cet ouvrage couvre tout le programme de mathématiques de l. a. deuxième année de los angeles filière BCPST et est entièrment conforme à los angeles réforme 2003/2004. Dans los angeles lignée des tout-en-un Dunod, chaque chapitre suggest : un cours très développé avec de nombreux exemples, toutes les démonstrations et des functions directes du cours corrigées ; des énoncés d'exercices et de problèmes, dont les corrigés détaillés sont regroupés en fin d'ouvrage.

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Cependant, si l’on a M = PM P −1 , alors en multipliant par P −1 à gauche et P à droite, on trouve que PMP −1 = M . En posant Q = P −1 , on a donc M = Q−1 MQ, ce qui prouve que l’ordre est en fait indifférent dans la définition. Proposition 4 Deux matrices de Mn (K) sont semblables si, et seulement si, elles sont les matrices d’un même endomorphisme. Preuve D’après la proposition 3, on sait que si M et M sont les matrices d’un même endomorphisme, alors M et M sont des matrices semblables. Réciproquement soient M et M deux matrices de Mn (K) et P une matrice inversible de Mn (K) telles que M = PM P −1 .

Remarques • Le jème vecteur colonne de PB1 ,B2 est donc le vecteur des coordonnées de ´j dans la base B1 . En ce sens on peut dire que la matrice de passage de B1 à B2 est la matrice des coordonnées des vecteurs d’une nouvelle base (B2 ) écrits dans l’ancienne (B1 ) qui est la référence de départ. n • Si on note PB1 ,B2 = (pi,j ) 1 1 i j n n , on a alors pour tout j ∈ Ú1, nÛ l’égalité ´j = pi,j ei . i =1 Exemple Soient B1 = (1, X, X 2 , X 3 ) la base canonique de K3 [X] et B2 = (1, (X −1), (X −1)2 , (X −1)3 ) une autre base de cet espace.

Par un calcul similaire, nous obtenons (PB1 ,B2 )(PB2 ,B1 ) = In , ce qui démontre la proposition. 2 Les nouvelles et anciennes coordonnées d’un même vecteur Proposition 2 Soit E un espace vectoriel muni d’une base B1 et x un vecteur de E. Soit B2 une nouvelle base de ⎛ E. On ⎛ ⎞ note ⎞ x1 x1 ⎜ x2 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ X=⎜ ⎝ .. ⎠ et X = ⎝ .. ⎠ les coordonnées de x dans les bases B1 et B2 respective. xn xn ment. Soit P la matrice de passage de B1 à B2 . On a la relation X = PX . 52 Changement de base ➤ Remarque Attention, on retiendra que la matrice de passage P d’une ancienne base vers une nouvelle base a pour vecteurs colonnes les coordonnées des nouveaux vecteurs sur l’ancienne base, c’est logique nous construisons le nouveau sur l’existant.

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