Histoire générale de l'Empire romain, tome 1 : Le by Paul Petit

By Paul Petit

Histoire générale de l’Empire romain1. Le Haut-EmpireCette synthèse magistrale sur l’Empire romain est devenue un classique des études antiques, intégralement reprise en three volumes en « issues Histoire ».1. Le Haut-Empire (27 av. J.-C.-161 apr. J.-C.)2. los angeles Crise de l’Empire (des derniers Antonins à Dioclétiens, 161-284)3. Le Bas-Empire (284-395)Paul Petit (1914-1981)Il a été professeur d’histoire ancienne à l’université des sciences sociales de Grenoble.

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Cependant, si l’on a M = PM P −1 , alors en multipliant par P −1 à gauche et P à droite, on trouve que PMP −1 = M . En posant Q = P −1 , on a donc M = Q−1 MQ, ce qui prouve que l’ordre est en fait indifférent dans la définition. Proposition 4 Deux matrices de Mn (K) sont semblables si, et seulement si, elles sont les matrices d’un même endomorphisme. Preuve D’après la proposition 3, on sait que si M et M sont les matrices d’un même endomorphisme, alors M et M sont des matrices semblables. Réciproquement soient M et M deux matrices de Mn (K) et P une matrice inversible de Mn (K) telles que M = PM P −1 .

Remarques • Le jème vecteur colonne de PB1 ,B2 est donc le vecteur des coordonnées de ´j dans la base B1 . En ce sens on peut dire que la matrice de passage de B1 à B2 est la matrice des coordonnées des vecteurs d’une nouvelle base (B2 ) écrits dans l’ancienne (B1 ) qui est la référence de départ. n • Si on note PB1 ,B2 = (pi,j ) 1 1 i j n n , on a alors pour tout j ∈ Ú1, nÛ l’égalité ´j = pi,j ei . i =1 Exemple Soient B1 = (1, X, X 2 , X 3 ) la base canonique de K3 [X] et B2 = (1, (X −1), (X −1)2 , (X −1)3 ) une autre base de cet espace.

Par un calcul similaire, nous obtenons (PB1 ,B2 )(PB2 ,B1 ) = In , ce qui démontre la proposition. 2 Les nouvelles et anciennes coordonnées d’un même vecteur Proposition 2 Soit E un espace vectoriel muni d’une base B1 et x un vecteur de E. Soit B2 une nouvelle base de ⎛ E. On ⎛ ⎞ note ⎞ x1 x1 ⎜ x2 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ X=⎜ ⎝ .. ⎠ et X = ⎝ .. ⎠ les coordonnées de x dans les bases B1 et B2 respective. xn xn ment. Soit P la matrice de passage de B1 à B2 . On a la relation X = PX . 52 Changement de base ➤ Remarque Attention, on retiendra que la matrice de passage P d’une ancienne base vers une nouvelle base a pour vecteurs colonnes les coordonnées des nouveaux vecteurs sur l’ancienne base, c’est logique nous construisons le nouveau sur l’existant.

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