Histoire ancienne des peuples de l'Orient classique : Les by G. Maspero

By G. Maspero

Quarto. Illustrated with 3 coloured photogravures (Assournazirabal, l. a. reine Amenertas, los angeles Garde de Darius) with tissue guards, maps, hundreds and hundreds of in-text engravings. certain in mild blue fabric, with an ivory backstrip bordered in gilt. Gilt identify framed via ornate layout in pink and gilt on entrance hide. Gilt identify on a blue box with red/gilt border, papyrus and uraeus at the backbone. best area gilt, marbled endpapers. [Nouveau tirage. citadel in-4. Plats de toile bleu décoré, dos de toile ivoire avec titre orné en rouge et or. Titres en lettres dorées. Tranche supérieure dorée, gardes marbrées. three héliogravures en couleur hors-texte (Assournazirabal, l. a. reine Amenertas, l. a. Garde de Darius), cartes, plusieurs centaines de gravures in-texte.] De l. a. renaissance assyrienne à l. a. conquête macédonienne (IXe-IVe s. av. J.-C.).

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SOLUTIONS et f ( x ) tend vers 0 par valeurs supérieures. f) On remarque que f n’est définie que pour x > 1, donc on étudie la limite quand x tend vers 1 par valeurs supérieures. Pour obtenir l’équivalent, on pose u2 = x − 1 : 24 TD Analyse h) La fonction f n’est définie que pour x ≥ 1, donc on étudie la limite quand x tend vers 1 par valeurs supérieures. On obtient : [ ] x +1− 2 x −1 ∼ x −1 + x −1 = x −1 1+ 2( x + 1) 2( x + 1) f (x) = et donc f ( x ) tend vers zéro par valeurs supérieures. Vous avez compris ?

Cette limite, quand elle existe, est appelée dérivée de f au point x0 et notée f ′′ ( x0 ) ou df ( x ) . dx x = x0 [ ] TD 2 Dérivées et différentielles 27 Notons que toute fonction dérivable en un point est continue en ce point mais que la réciproque est fausse. Définition. Si une fonction f est dérivable en tout point d’un intervalle ouvert, la fonction f ′′ qui associe à tout point x de cet intervalle le nombre f ′′ ( x ) est la fonction dérivée de f, définie sur cet intervalle. Dérivées à droite et à gauche.

X n −3 Il était ici beaucoup plus facile de calculer les dérivées successives : f ′′ ( x ) = 6 x ln x + 5x, f (3) ( x ) = 6 ln x + 11 On remarque alors que la dérivée d’ordre n de f, pour n ≥ 4 , n’est autre que la dérivée d’ordre n − 3 de ln x , multipliée par 6. , 2 2 2 1 3 2 p − 1 − p −1/ 2 v ( p ) ( x ) = ( −1) p × × ... × x 2 2 2 Ainsi : 1 × 3 × 5 × ... × (2n − 3) [(2n − 1)(1 + x) − 2nx ] 2n x n +1/ 2 1 × 3 × 5 × ... × (2n − 3) = (−1) n (2n − 1 − x ) 2n x n +1/ 2 25. a) L’expression de f ( x ) se présente sous la forme d’un produit dont la dérivée logarithmique s’obtient comme somme des dérivées logarithmiques de chacun des facteurs : f ( n ) ( x ) = ( −1) n ln f ( x ) = ln | x + 1 | + ln | 2x + 1 | + ln | 3x + 1 | SOLUTIONS f ′ ( x ) = 3x 2 ln x + x 2 , 50 TD Analyse On en déduit par dérivation : f ′( x) 1 2 3 = + + f ( x ) x + 1 2x + 1 3 x + 1 La dérivée de f est donc définie sur \ par : f ′ ( x ) = (2x + 1)(3x + 1) + 2( x + 1)(3x + 1) + 3( x + 1)(2x + 1) = 2(9x 2 + 11x + 6) b) La fonction f est définie pour x ≥ 1 et peut s’écrire comme le produit : f ( x ) = ( x − 1)1/ 2 ( x + 2) −2 /3 ( x + 3) −3 / 2 Sa dérivée logarithmique est donc : 1 2 3 f ′( x) = − − f ( x ) 2( x − 1) 3( x + 2) 2( x + 3) 5x 2 + x − 24 3( x − 1)( x + 2)( x + 3) =− et sa dérivée est définie pour x > 1 par : f ′(x) = − 5x 2 + x − 24 3 x − 1 3 ( x + 2)5 ( x + 3)5 c) Pour x > 0 on obtient : ln f ( x ) = x ln x Soit, en dérivant : f ′ ( x ) ln x x = + f (x) 2 x x D’où la dérivée de f : 1 f ′(x) = x 2 x −1/ 2 (ln x + 2) TD 2 Dérivées et différentielles 51 Vous avez compris ?

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