Algebra by Professor Dr. Siegfried Bosch (auth.)

Z/rnZ, X f---+ a . x, injektiv und so mit wegen der Endlichkeit von Z/rnZ sogar bijektiv ist. Insbesondere ist das Einselement von Z/rnZ im Bild dieser Abbildung enthalten, so daB a jeweils cin inverses Element beziiglich der Multiplikation bcsitzt. Dies bedeutet aber, daB Z/rnZ ein Kiirper ist, wie in (iii) gefordert. Sei schliel3lich Z/rnZ wie in (iii) als Kiirper oder allgemeiner als nullteilerfrei angenommen.

Es entsprechen also die Ringhomomorphismen cP: R[X] -----t R' mit cPlR =

Xn ). 4 Primfaktorzerlegung 51 Bewcis. (i) Gdte (Xl ... ,X n ) = (d). Dann folgt Xi E (d) und somit dlxi fiir allc i. AuBerdem gibt es wegen d E (Xl'" ,Xn ) eine Gleiehung d = 2::~=1 aixi mit gewissen Elementen ai E R. Hieraus ergibt sieh, daB jeder gemeinsame Teilcr der Xi aueh ein Teiler von d ist, d. h. d = ggT(Xl ... ,xn ). (ii) Gelte n~=l(Xi) = (v). Dann ist v Element aller Ideale (Xi), also gerneinsames Vielfaehes aller Xi' Sei nun a ein weiteres gemeinsames Vielfaches der Xi. Dann folgt a E (Xi) fiir alle i, also a E n~=l(Xi) (v) und so mit v I a, d.

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